01 טיפים מעשיים כדי להפיח חיים בשברים ולעשותם הגיוניים. 10 Practical Tips for Making Fractions Come Alive and Make Sense

Transcription

1 01 טיפים מעשיים כדי להפיח חיים בשברים ולעשותם הגיוניים 10 Practical Tips for Making Fractions Come Alive and Make Sense מאת: Doug M. Clarke, Anne Roche, and Annie Mitchell הופיע ב: 2008, Mathematics Teaching in the Middle School,13 (7), March.pp למאמר המקורי באנגלית. תרגום: מיכל סוקניק השברים קשים להוראה וללמידה, אך אין לראותם כמקרה אבוד. מחקר חשוב באוסטרליה ובמקומות אחרים, יכול לעזור לנו להתמקד ברעיונות הגדולים, בדרכים שיכולות לסייע לתלמידים בביה"ס היסודי ובחט"ב למצוא היגיון בשברים. אנו משתפים את הקוראים בתובנות מהמחקר שלנו, בעצות לגבי מה חשוב יותר ומה פחות, ובגישות ופעילויות מעשיות מהכיתה. הניסיון שלנו במגוון השתלמויות מורים הראה שכל אלה יכולים להפיח חיים בשברים עבור מורי ותלמידי ביה"ס היסודי וחטה"ב. מה גורם לשברים להיות כה קשים להוראה וללמידה? ישנה הסכמה רחבה לכך ששברים מהווים חלק חשוב מתכנית הלימודים במתמטיקה )2002.)Litwiller and Bright שברים יוצרים בסיס להתפתחות החשיבה הפרופורציונלית והם חשובים ללימוד מתמטיקה בעתיד, כולל אלגברה והסתברות. יחד עם זאת, ברור שעבור מורים רבים השברים קשים להבנה ולהוראה )2007 )Lamon ועבור תלמידים רבים הם קשים ללמידה (Clarke,.)Roche, Mitchell and Sukenik 2006; Pearn and Stephens 2004 חלק גדול מהבלבול בהוראה ולימוד של שברים נובע מהמשמעויות הרבות שלהם, מהייצוגים )מודלים( הרבים וממוסכמות הכתיבה הרבות שלהם )/54, / , 1, 1.5 אחוז( )2001.)Kilpatrick, Swafford, and Findell בנוסף, הכללות אליהן הגיעו מההוראה של מספרים שלמים, יושמו בצורה לא נכונה בשברים )1991.)Streefland )1791( Kieren זיהה מספר משמעויות שונות )או מבנים( של מספרים רציונליים, שניתן לסכם כ: )1( חלק-שלם, ).( מידה, )3( מנת חילוק, )/( אופרטור, ו- )5( יחס. כדי להכין את הרקע להמשך, נציין משמעויות עיקריות של שברים. משמעות החלק-שלם תלויה ביכולת לחלק כמות רציפה )כולל מודלים של שטח, אורך ונפח(, או קבוצה של עצמים בודדים, לתת-חלקים או קבוצות שוות בגודלן. 1

2 שבר יכול לייצג מידה של כמות, יחסית ליחידה אחת של כמות זו. )1777( Lamon הסבירה שמשמעות המידה שונה מהמבנים האחרים בכך שמספר החלקים השווים ביחידה יכול להשתנות כתלות במספר הפעמים שמחלקים. חלוקה חוזרת זו מאפשרת למדוד במדויק. אנו מדברים על מדידות אלה כ"נקודות", אותן ניתן לייצג בשימוש בישר המספרים..3 : 5 = 345 יכול גם שבר )a/b( לייצג את פעולת החילוק או תוצאת חילוק כמו ניתן להבין את משמעות החילוק או המנה על ידי חלוקה לחלקים שווים. ניתן להשתמש בשבר כאופרטור כדי לפעול על יחידה )או על התוצאה של פעולה קודמת( כמו /34 של.1 הם 7, ו- = 11 8 /54. X התפיסה השגויה שכפל "תמיד מגדיל" וחילוק "תמיד מקטין" נפוצה ביותר. חוסר הניסיון של תלמידים בשימוש בשברים כאופרטורים עשוי לתרום לתפיסה שגויה זו. שברים יכולים לשמש גם כיחס שיטה להשוואת הגדלים של שתי קבוצות או שתי מדידות, כמו על כל שלוש בנות יש ארבעה בנים. )1773( Post, Cramer, Behr, Lesh, and Harel טענו "שלמבנים של יחס, מידה ואופרטור לא נותנים מספיק דגש בתכנית הלימודים בבית הספר" )עמ' 3.8(. הדילמה הן עבור המורים והן עבור התלמידים היא כיצד להשיג את כל הקישורים הדרושים על מנת להגיע להבנה בוגרת וגמישה של שברים ושל התחום הרחב יותר של מספרים רציונליים. דילמה נוספת קשורה לניסיונם של מורים רבים: כתלמידי מתמטיקה בעצמם, הם לא קבלו מספיק כלים להוראה טובה של נושא זה. למרות הקושי בהוראה ולימוד של שברים, המנסים למצוא היגיון בנושא. ישנן דוגמאות מלהיבות של מורים שתומכים בתלמידים דרסי התבקש על ידי מורתו לצייר או לכתוב על /34 בדרכים רבות ככל האפשר )ראו איור 0(; עבודתו מראה הבנה רחבה של מגוון דרכים של פרשנות ויישום של ידע בשברים..

3 בחלק הנותר של מאמר זה, אנו מציעים עשרה טיפים שעשויים, לדעתנו, להפוך את השברים לקלים יותר להבנה עבור התלמידים. שימו דגש רב יותר על משמעות השברים מאשר על טכניקות חישוביות איתם.0 מסמכים של תכנית הלימודים נותנים לעיתים את הרושם שהמטרה העיקרית של הוראת שברים היא שהתלמידים ידעו לבצע איתם את ארבע פעולות החשבון. אנו מאמינים שצריך לתת לתלמידים זמן להבין מה זה בכלל שברים )במקום לעבור מהר לחישובים( ושהמטרה העיקרית צריכה להיות לפתח תלמידים שיכולים לנמק בחשיבה פרופורציונלית. התוצאה אותה מרבים לצטט, של ההערכה הלאומית של התקדמות בחינוך בארה"ב,NAEP(,)U.S. National Assessment of Educational Progress תומכת בטענה של קשיי התלמידים בהבנת הגודל של שבר 1980(.)Carpenter, Kepner, Corbitt, Lindquist, and Reys כשאמדו את התשובה ל , רק /. אחוז מהילדים בגיל שלוש-עשרה, בחרו בתשובה הנכונה בשאלון רב ברירה )האפשרויות היו 1.,17,.,1(. רובם בחרו 17 או 1.. למרות שניתן לעיתים לפתור בעיות של חשיבה פרופורציונלית בעזרת טכניקות כמו )1777( Lamon,a/b = c/d מאמינה ששימוש במשוואות אלה בלבד אינו הנמקה, ושבעלי חשיבה פרופורציונלית מסוגלים )בין השאר( להשתמש בשפה ובאסטרטגיות משלהם כדי למצוא הגיון בבעיות אלה ו"לזהות הקשרים יומיומיים שבהם פרופורציות שימושיות או לא שימושיות" )עמ' 35.(. 3

4 אנו רוצים תלמידים שיכולים להסתכל על פרסומת להנחה על בנזין באוסטרליה הטוענת ש" 5 אחוז הנחה טובה יותר מהנחה של ארבעה סנטים לליטר" ולהחליט מתי טענה זו נכונה או שגויה. אנו רוצים שתלמידים יבינו שהיחס בין שטח פנים לנפח, כמו גם התייבשות, הם הסיבות המתמטיות לכך שתינוק שנשאר במכונית ביום חם יסבול, בעוד שמבוגר באותו מצב לא יסבול ( Clarke Lovitt and 1988(. אנו גם רוצים שתלמידים ישתמשו בתובנה מספרית ובחשיבה פרופורציונלית כדי לזהות מהי הקנייה הטובה יותר מבין שתי אפשרויות של אבקת כביסה המופיעות באיור פתחו חוק הניתן להכללה כדי להסביר את המונה ואת המכנה של שבר. כשתלמידים מנסים לראשונה למצוא היגיון בשברים פשוטים, המורים מגדירים שברים כך: המכנה אומר לכם לכמה חלקים חילקו את השלם, והמונה אומר לכם כמה מחלקים אלה יש לקחת, למנות, או לצבוע. הסבר זה עובד די טוב עבור שברים בין 1 ל- 1, אך לא עובד עבור שברים גדולים מ- 1. אנו מעדיפים לתת לתלמידים את ההסבר הזה: בשבר b,a/b הוא השם או הגודל של החלק )לדוגמה, לחמישיות קוראים כך כי 5 חלקים שווים יכולים למלא שלם(, ו- a הוא מספר החלקים של אותו שם או גודל. אם /

5 9 9 3 יש לנו 943, ה- מבטא את השם או הגודל של החלקים )שלישים( וה- אומר לנו שיש לנו.). מהשלישים האלה )או 143 אנו מאמינים שחוק חדש זה עשוי לעזור לתלמידים להשתמש בשפה מתאימה יותר כשהם משיימים שברים. הדגישו ששברים הם מספרים, תוך שימוש רב בישרי מספרים כדי לייצג שברים ומספרים עשרוניים..3 Kilpatrick, Swafford and Findell (2001) היא כל כך בסיסית, שקל מאד להתעלם ממנה. העירו, שהעובדה שמספרים רציונליים הם מספרים, לשימוש בישר מספרים יש יתרונות רבים. הוא מסייע לתלמידים לראות כיצד מספרים שלמים, שברים ומספרים עשרוניים קשורים זה לזה; הוא מספק דרך להבין מדוע 543 שווה ל ו- 143 שווה ל-., ומקל על התלמידים את הבנת המושג של צפיפות המספרים הרציונליים )כלומר, שבין כל שני שברים או מספרים עשרוניים יש מספר אינסופי של שברים ומספרים עשרוניים(. נצלו הזדמנויות כבר בשלב מוקדם כדי להתמקד בשברים גדולים מ- 0 ובשברים שווים..4 אם נראה שתלמידים מבינים את שפת השברים ומשתמשים היטב בישרי מספרים, אזי שברים גדולים מ- 1 משתלבים באופן טבעי. המשחק "צבעו את השברים" )ראו דף עבודה בסוף המאמר( מפתח הבנה הן של שקילות והן של שברים גדולים מ- 1. חשבו, לדוגמה, על תלמידים המנסים להבין את 43/ בהקשר למשחק זה. האתגר של להיות הראשון לצבוע את לוח המשחק במלואו מעורר את המוטיבציה לחשוב על מה שקול ל- 43/, למשל שורה אחת ועוד 143, או 541 ו-.14. משחק זה מתאים לכולם. תלמידים המתקשים בנושא של שקילות יכולים לצבוע רק מה שמתקבל בקוביות )לדוגמה, "יצא לי 41., אז אני אצבע. מתוך השישיות"(, אך מהר מאד הם רואים את חבריהם למשחק משתמשים בשברים שקולים, ותופסים את הרעיון ואת הגמישות הפוטנציאלית, במיוחד אם הם חושבים שיפסידו תור משום שלא יכולים למצוא שטחים שקולים לצבוע. 5. ספקו מגוון של מודלים לייצוג שברים. בניסוי הוראה נעשה שימוש במגוון של אמצעי המחשה וכלים אחרים ( Lesh, Post, Wachsmuth,,) and Behr 1985; Steencken and Maher 2002 כגון סרגלי שברים, בדידים, קיפולי נייר, צורות מנויילנות ותוכנות מחשב. יחד עם זאת, )1773( Ball טענה שחומרים מוכנים לייצוג שברים עלולים למנוע מהתלמידים הבנייה של מושגים חשובים הקשורים לשברים, כמו העובדה שהיחידה חייבת 5

6 להיות באותו גודל כשעושים השוואה, או שחלקים שווים אינם בהכרח חופפים. ).11.( Empson מצאה שהעלאת שאלות הכוללות מטלות של חלוקה שווה, סיפקה עבור התלמידים הזדמנויות לייצר מודלים משלהם, שכללו היבטים חשובים רבים של שברים. כללית, אם רוצים שהתלמידים יהיו גמישים במעבר בין מבנים שונים, צריך שהם יכירו ייצוגים )ואמצעי המחשה( שונים, משום שכל מודל שונה ביכולתו לשקף כל מבנה או מושג שאותם בודקים. Sowder )1788( ציינה שבכל הנוגע לשברים, התלמידים "עניים במודלים", כשרבים מהם חושבים שעיגול הוא המודל היחיד לשברים. גם הניסיון שלנו הראה זאת, כשהסתכלנו על תשובות התלמידים למשימה "כתבו או ציירו על /34 בדרכים רבות ככל האפשר" ש, בה דנו בתחילת המאמר. בראיון אישי שפיתחנו עבור שברים ומספרים עשרוניים )ראו al. 2006,)Clarke et השתמשנו במטלה מפרויקט המספרים הרציונליים Project(,)Rational Number לגבי פרשנות של מודל העיגול. הציגו בפני תלמידים את המטלה המופיעה באיור 3 )מעובד מתוך Post, Cramer, Behr,.)and Lesh 1997 סעיף א היה שאלה קלה יחסית, ו אחוז מתלמידי כיתה ו' ענו את התשובה /14. /.3 אחוז נוספים מהתלמידים נתנו תשובה נכונה של שבר, מספר עשרוני או אחוז שקולים, בעוד ש- 5.1 אחוז ו- 1.7 אחוז ענו 145 ו-. 14 בהתאמה )323=n(. 1

7 סעיף ב היה קשה יותר, כשרק 9../ אחוז מהתלמידים נתנו את התשובה הנכונה 141, ו אחוז ענו 145 )כנראה על סמך "חמישה חלקים"(. אותו אחוז של תלמידים ענה 143, כנראה משום שהתמקד רק בצד השמאלי של העיגול. לתלמידים אלה היתה כנראה התנסות מוגבלת עם חלוקה לחלקים שאינם שווים, וחשיפה מועטה למטלות של מודל השטח הכוללות "מסיחים תפיסתיים".)Behr and Post 1981( אנו מאמינים שתלמידים ייתרמו ממטלות שיש בהן מסיחים ויזואליים, כמו המטלה המופיעה באיור 4. כך התלמידים יאלצו להפעיל חשיבה מתמטית במקום סתם למנות ולצבוע. במטלה מסוג זה השתמשו גם להערכת הבנת התלמידים בנושא מספרים עשרוניים )2005.)Roche 6. קשרו את השברים לנקודות ציון עיקריות, ועודדו אומדן. בראיון האישי שערכנו, הצגנו בפני התלמידים שמונה זוגות של שברים ובקשנו מהם להחליט, כל זוג, איזה שבר גדול יותר ומדוע )ראו איור 5(. עבור 9

8 לתלמידים לא ניתנו נייר ועיפרון הם התבקשו לבצע את ההשוואה בראש. נסו לחשוב על מטלה זו בעצמכם. האם תוכלו לבחור את הגדול מכל זוג, וכיצד החלטתם? אנא רשמו את תשובותיכם לפני שתמשיכו לקרוא. המטלות ניתנו ל- 3.3 תלמידי כיתות ו' בסוף השנה. התשובות לזוגות השונים היו שונות, ונעו מ אחוז תשובות נכונות )עם הסבר מתאים( לזוג )948, 348(, ועד לזוג הקשה ביותר )947, /34(, שרק 11.8 אחוז ענו עליו נכון. למרות שחלק מהתלמידים השתמשו )עם הצלחה חלקית( במכנה משותף בזוגות רבים, התלמידים המצליחים ביותר השתמשו בשתי אסטרטגיות שיתכן שלא למדו בבית הספר. לראשונה אנו קוראים נקודות ציון: תלמידים משווים את גודל השברים ל- 1,.14, או 1. עבור הזוג )349, 548( תלמידים יכולים לציין ש- 349 קטן מחצי וש- 548 גדול מחצי. אסטרטגיה חדשנית נוספת היתה מה שאנו מכנים חשיבה של שארית )או השלמה לשלם(: תלמידים מתייחסים לכמות הדרושה כדי להשלים לשלם. בהשוואת 541 ו- 948, תלמידים יכולים להסיק שלשבר הראשון דרושה 141 נוספת כדי ליצור את השלם, בעוד שבשבר השני דרושה רק 148 כדי להשלים לשלם )מספר או חלק קטן יותר(, ולכן 948 גדול יותר. זו חשיבה מצוינת של תלמידים. יחד עם זאת, חלק מהתלמידים השתמשו באסטרטגיה שגויה, כשהסתכלו על ההפרש, במספרים שלמים, בין המונה למכנה )ראו את חשיבת ההפרש המתוארת אצל,)Pearn and Stephens 2004 וטענו ש- 541 ו- 948 שווים, כי לשניהם חסרה "חתיכה" אחת כדי ליצור שלם. אנו מאמינים שכאשר תלמידים משתפים את הכיתה באסטרטגיות שלהם להשוואת שברים, תלמידים אחרים יכולים להשתכנע להשתמש הן בנקודות ציון והן בהשלמה לשלם כדי להתמודד עם בעיות של סידור ושל גודל יחסי. זה לא אומר שמכנה משותף לא עובד, אבל נקודות ציון והשלמה לשלם הן לרוב אסטרטגיות יעילות יותר ומתמקדות במשמעות כשמיישמים אותן דבר שלעיתים חסר מהתנסות התלמידים בשברים בבית הספר. סקרים שנערכו על מאתיים מבוגרים במשך תקופה של עשרים וארבע שעות, מצאו שיותר מ- 11 אחוז של כל החישובים שביצעו בחיי היום-יום דרשו אומדן בלבד ( McIntosh Northcote and 1999(. אנו מאמינים שהדגש בתכנית הלימודים צריך לשקף ממצא זה. זו אחת הסיבות לכך שהוראת אלגוריתמים של ארבע הפעולות בשברים, לא מכינה את התלמידים להתנסויות עם שברים בחיים האמיתיים, שבהן אומדן בראש הוא המיומנות העיקרית. 8

9 7. הדגישו את השברים כחילוק. המונח של "שבר כחילוק" אינו מבנה נפוץ בראשם של רוב האנשים )ראו.)Clarke 2006 אם אנו מבינים, לדוגמה, שאחת המשמעויות של 43. היא ". לחלק ל- 3", אזי אסטרטגיות למצבי חלוקה הופכות להיות מובנות די מהר. באופן אירוני, כשאנו מלמדים תלמידים להפוך 349 למספר עשרוני, אנו מעודדים אותם להשתמש במחשבון כדי לחלק 3 ל- 9, ובכך מעלים את המבנה של שברים כחילוק, מבלי להסביר מדוע. באופן דומה, אפשר לייצג את 1945 כמספר המעורב 3, 45. והתלמידים נוטים להפוך אותו על ידי חילוק של 19 ל- 5 שוב אותו עיקרון. בראיונות שלנו, הראינו לתלמידים תמונה דומה לזו המופיעה אצל )119.(, Lamon של חמש ילדות ושלוש פיצות, ושאלנו: "חילקו שלוש פיצות שווה בשווה בין 5 ילדות. כמה פיצה תקבל כל ילדה?" למרות ש אחוז מתלמידי כיתה ו ענו תשובה נכונה )345(, נראה שרובם ציירו תמונה, או חילקו בראש את הפיצה כדי לחשב את החלקים השווים. זה מראה שהעובדה ש" 3 לחלק ל- 5 הם 345" אינה מובנת אוטומטית, וצריך לעבוד עליה על ידי חלוקה. ממצא חשוב נוסף היה ש אחוז מהתלמידים לא היו מסוגלים להתחיל לענות. תלמידים זקוקים לחשיפה רבה יותר לבעיות של חילוק, ולדיון מפורש המקשר בין חילוק לבין התשובות בשברים )לדוגמה, = : עשוי להוביל להכללה ש-.)a : b = a/b 8. קשרו בין שברים, מספרים עשרוניים ואחוזים בכל הזדמנות אפשרית. תלמידים רבים המתבקשים לפתור בעיות בשברים, יבחרו להפוך אותם למספרים עשרוניים או לאחוזים, כדי שיהיו הגיוניים יותר. יש לעודד חשיבה גמישה זו, משום שאחוזים במיוחד, הגיוניים באופן אינטואיטיבי עבור תלמידים רבים. חוקרים אחדים מאמינים שיש להציג מספרים עשרוניים ואחוזים הרבה יותר מוקדם מאשר מורים נוהגים לעשות )ראו, לדוגמה,.)Moss and Case 1999 הפעילות הבאה מסייעת לתלמידים לקשר בין שברים, מספרים עשרוניים ואחוזים. המופיע באיור 6 עובד מתוך (2001) Moldavan.Eggleton and אוסף הכרטיסים 7

10 נותנים כרטיס לכל תלמיד ומבקשים מהם לעמוד לפני הכיתה, כך שיהיו מסודרים על פי הגודל מהקטן ביותר לגדול ביותר. לתלמידים רבים יהיה קשה לסדר את אוסף הכרטיסים על פי הגודל, אך 11

11 המורים יכולים, כמובן, לשנות את הכרטיסים בהתאם לצרכי הכיתה. כאמור, היכולת לתרגם בין הייצוגים השונים, יכולה לאפשר לתלמיד להבין טוב יותר את המבנים השונים של מספרים רציונליים. מצאו הזדמנויות לראיין תלמידים באופן אישי על סוגי המטלות המופיעים במאמר זה, כדי להיות מודעים לחשיבה ולאסטרטגיות שלהם..9 תארנו מספר מטלות בהן השתמשנו בראיונות אישיים כחלק מהמחקר שלנו. בנוסף, עודדנו מורים לנסות חלק מפעילויות אלה עם תלמידיהם. כמעט בכל המקרים, המורים דווחו על כך שהראיונות עזרו באופן מיוחד להשגת תובנות אודות חשיבת תלמידיהם. במקרים רבים, תהליך הראיון פיתח יחס חדש של כבוד לניסיונות התלמידים להפוך את השברים להגיוניים. הם היו להוטים לשתף את שיטות תלמידיהם עם התלמידים האחרים, ולעודד אותם לנסות אסטרטגיות אלה עם בעיות אחרות. אחת המטלות האהובות עלינו, היכולה להתבצע כראיון אישי או כפעילות כיתתית, היא "בנו סכום" מפרויקט המספרים הרציונליים )1984.)Behr, Wachsmuth, and Post נותנים לתלמידים כרטיסים שעליהם המספרים 3, 1, /, 5, 1, ו- 9 ולוח )ראו איור 7( ומבקשים מהם לשים את כרטיסי המספרים בריבועים הריקים כך שהסכום יהיה קרוב אך לא שווה ל

12 רק /.5. אחוז מהמרואיינים שלנו בכיתה ו' יצרו צירוף בטווח שבין 1.7 ל- 1.1, כשסך הכל התקבלו 85 צירופים שונים. בנוסף, /./. אחוז מהתלמידים בנו בפתרונם לפחות שבר אחד גדול מ- 1 )וכך התוצאה היתה גדולה מ- 1, ועם יותר תוספת(, ויתכן שזה מעיד על אי הבנה של גודל השברים הגדולים מ- 1. פעילות זו מהווה בסיס מצוין לדיונים על גודל יחסי, והזדמנות לעסוק בהבנת התלמידים בנושא של שברים גדולים מ חפשו דוגמאות ופעילויות שיכולות לגרום לתלמידים לחשוב על רעיונות של שברים בפרט ושל מספרים רציונליים בכלל. ברצוננו לשתף אתכם בקצרה בחלק מפעילויות השברים האהובות עלינו. גשר שברים תלוי The New South Wales Department of Education and )מעובד מתוך.)Training 2003 לאחר שמראים לתלמידים תמונות של סוגי גשרים שונים, הראו להם צילום של גשר שער הזהב Bridge( )Golden Gate בסן פרנסיסקו, והסבירו שהם עומדים לבנות משהו דומה תוך שימוש בשברים. תנו לכל זוג תלמידים שלושה פסים של סרט או של נייר, כל פס באורך 11 ס"מ, ובקשו מהם לחשוב כיצד ניתן לחתוך את הפס כדי לייצג את השברים הבאים.14, 143, /14, 141, 145, 1411, 1411, 147, 148, 149, ו-.141 כשנתון שכל פס מייצג יחידה אחת שלמה. כל זוג יוצר שברים אלה משלושה פסים, ואח"כ מוסיף את השברים שלו לזוג תלמידים נוסף כדי ליצור צורה הדומה לגשר תלוי )ראו איור 8(. 1.

13 אין צורך להשתמש בכל חלקי הפס. פעילות זו מהווה תרגול טוב בפתרון בעיות, כמו גם תרגול בשימוש בשבר כאופרטור, כדי למצוא, לדוגמה, 141 מתוך 11 ס"מ. תלמידים גם מתעניינים, כמונו, בהוכחה הויזואלית של כיצד ההפרש בין שברי יחידה עוקבים קטן כשאנו עוברים מ-.14 ל- 143, ל- /14 וכן הלאה. בדידים )מעבר מחלק לשלם, משלם לחלק, ומחלק לחלק( כל קבוצת תלמידים מקבלת קופסת בדידים בהם הם משתמשים כדי לפתור בעיות כמו: איזה חלק של הבדיד החום מהווה הבדיד האדום? אם הסגול הוא 43., איזה בדיד הוא השלם? אם הבדיד החום הוא 43/, איזה בדיד הוא 1? אם הבדיד הכחול הוא.14 1, איזה בדיד הוא 43.? איזו שאלה תרצו לשאול את קבוצתכם? מספרים דביקים כתבו שבר, מספר עשרוני, או אחוז על פתק דביק ושימו אותו על גבו של כל תלמיד. לאחר מכן התלמידים מסתובבים בחדר, ומציגים שאלה אחת לכל תלמיד, עד שהם מגלים מהו המספר המסתורי שלהם. כל שאלה יכולה לקבל רק תשובה של כן או לא. שאלות רצויות כוללות נקודות ציון )"האם אני פחות מחצי"?(, מאחר ששאלות המפרידות בין המונה למכנה )"האם המספר שלמעלה אי-זוגי?"( לא יובילו לסוג החשיבה שאנו מעוניינים בו. מציאת היגיון בפעולות מעודדים את התלמידים לצייר תמונה או להשתמש באבזרים כדי לתת משמעות לכל אחד מהביטויים הבאים: + 143, ,14.,14. X 143 :

14 מסקנות במאמר זה הצגנו את האתגרים הרבים העומדים בפני מורים ותלמידים בבתי ספר ובמכללות בהוראה ובלמידה של מושגי שברים חשובים. דנו במגוון של רעיונות גדולים; שיתפנו נתונים חשובים מראיונות אישיים עם תלמידים; והצענו למורים עשרה טיפים מעשיים, מבוססים על מחקר, בצרוף הצעות לפעילויות כיתתיות מתאימות. מניסיוננו עם סוגים שונים של התפתחות מקצועית, אנו בטוחים שלרעיונות והצעות אלה יש פוטנציאל גדול להפיח חיים בשברים ולעשותם הגיוניים בכיתות בהן הם נלמדים. מקורות Ball, Deborah. "Halves, Pieces, and Twoths: Constructing and Using Representational Contexts in Teaching Fractions."In Rational Numbers: An Integration of Research, edited by Thomas E. Carpenter, Elizabeth Fennema, and Thomas Rombeig, pp Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Behr, Merlyn J., Ipke Wachsmuth, and Thomas R. Post. "Order and Equivalence of Rational Numbers: A Clinical Teaching Experiment. "Journal for Research in Mathematics Education 15 (November 1984): Behr, Merlyn, and Thomas R. Post. "The Effect of Visual Perceptual Distractors on Children's Logical-Mathematical Thinking in Rational Number Situations." In Proceedings of the Third Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, edited by Thomas R. Post and M. Roberts, pp Minneapolis, MN: University of Minnesota, Carpenter, Thomas P., Henry Kepner, Mary K. Corbitt, Mary M. Lindquist, and Robert E. Reys. "Results and Implications of the Second NAEP Mathematics Assessments: Elementary School."Arithmetic Teacher 2 (April 1980): Clarke, Doug M. "Fractions as Division: The Forgotten Notion?" Australian Primary Mathematics Classroom 11(2006): Clarke, Doug M., Anne Roche, Annie Mitchell, and Michal Sukenik. "Assessing Student Understanding of Fractions Using Task-based Interviews."In Proceedings of the 30th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics 1/

15 Education, edited by Jarmila Novotná, Hana Moraová, Mag-dalena Krátká, and Nada Stehlíková, pp Prague: PME, Cramer, Kathleen A., Merlyn Behr, Thomas Post, and Richard Lesh. Rational Number Project: Fraction Lessons for the Middle Grades -Level 1. Dubuque, IA: Kendall Hunt Publishing, Eggleton, Patrick J., and Carla С. Moldavan. "The Value of Making Mistakes. "Mathematics Teaching in the Middle School 7 (August 2001): Empson, Susan. "Organizing Diversity in Early Fraction Thinking." In Making Sense of Fractions, Ratios, and Proportions, 2002 Yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics(NCTM), edited by Bonnie Litwiller and George Bright, pp Reston, VA: NCTM, Kieren, Thomas T. "On the Mathematical, Cognitive and Instructional Foundations of the Rational Numbers." In Number and Measurement: Papers From a Research Workshop, edited by Richard Lesh, pp Athens, GA: ERIC/SMEAC, Kilpatrick, Jeremy, Jane Swafford, and Bradford Findell. Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics. Washing-ton, DC: National Academy Press, Lamon, Susan. Teaching Fractions and Ratios for Understanding: Essential Content Knowledge and Instructional Strategies for Teachers. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, "Rational Numbers and Proportional Reasoning." In Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, edited by Frank K. Lester Jr., pp Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, Litwiller, Bonnie, and George Bright. Making Sense of Fractions, Ratios,and Proportions, 2002 Yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). Reston, VA:NCTM, Lovitt, Charles, and Doug Clarke. The Mathematics Curriculum and Teaching Program Professional Development Package: Activity Bank, Vol. 1. Canberra, Australia: Curriculum Development Centre,

16 Moss, Joan, and Robbie Case. "Developing Children's Understanding of the Rational Numbers: A New Model and Experimental Curriculum." Journal for Research in Mathematics Education 30 (March 1999): New South Wales Department of Education and Training. Fractions: Pikelets and Lamingtons. Ryde, Australia: NSW Department of Education and Training, Northcote, Maria, and Alistair Mclntosh. "What Mathematics Do Adults Really Do In Everyday Life?" Australian Primary Mathematics Classroom 4 (1999): Pearn, Catherine, and Max Stephens. "Why You Have to Probe to Discover What Year 8 Students Really Think About Fractions." In Mathematics Education for the Third Millenium: Towards 2010 Proceedings of the 27th Annual Conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia Vol. 2, edited by Ian Putt,Ronda Faragher, and Mal McLean, pp Sydney, Australia: Merga, Post, Thomas, Ipke Wachsmuth, Richard Lesh, and Merlyn Behr. "Order and Equivalence of Rational Numbers: A Cognitive Analysis." Journal for Research in Mathematics Education 16(January 1985): Post, Thomas, Kathleen Cramer, Merlyn Behr, Richard Lesh, and Guershon Harel. "Curriculum Implications of Research on the Learning, Teaching and Assessing of Rational Number Concepts." In Rational Numbers: An Integration of Research, edited by Thomas Carpenter, Elizabeth Fennema, and Thomas Romberg, pp Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Roche, Anne. "Longer Is Larger -Or Is It?" Australian Primary Mathematics Classroom 10 (2005): Sowder, Judith. "Mental Computation and Number Comparison: Their Roles in the Development of Number Sense and Computational Estimation." In Number Concepts and Operations in the Middle Grades, Vol. 2, edited by James Hiebert, pp Reston VA: National Council of Teachers of Mathematics, Steencken, Elena, and Carolyn A. Maher. "Young Children's Growing Understanding of Fraction Ideas." In Making Sense of Fractions, Ratios, and Proportions, 2002 Yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), edited by 11

17 Bonnie Litwiller and George Bright, pp Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, Streefland, Leen. Fractions in Realistic Mathematics Education: A Paradigm of Developmental Research. Dordrecht: Kluwer Academic Publications,

18 דף עבודה שם: צבעו שברים מטרת המשחק היא לזרוק קוביות כדי ליצור שברים עד שתים-עשריות. צבעו חלקים מחומת השברים )פסי השברים( שלמטה המתאימים לשברים שהתקבלו לאחר שתי זריקות. הקוביות /,3,3,.,.,1 על הפאות של קוביה A מסמנים: בצבע אחד; התוצאה שלה היא המונה. על הפאות של קוביה B מסמנים: ; 41 ; 4/ ; 43 ; 4. התוצאה שלה היא המכנה. חוקי המשחק כל שחקו בתורו זורק את שתי הקוביות, ויוצר מהן שבר. כל שורה.1 בחומה מייצגת שלם אחד. 18

19 כל שחקן צובע בחומה את השבר שקיבל. לדוגמה, אם שחקן מקבל בקוביות. ו- /4, הוא יכול לצבוע /4. של שורה אחת 48/ של שורה אחת /14 של שורה אחת ו- 48. של שורה אחרת, או כל צרוף אחר השווה ל- /4.. הם מפסידים תור. אם השחקנים לא מצליחים לצבוע בתור שלהם, השחקן הראשון שצובע את כל החומה הוא המנצח